Συστήματα αρίθμησης

Το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης που χρησιμοποιούμε μας φαίνεται πολύ «λογικό» και «προφανές». Είναι όμως έτσι τα πράγματα; Αν δούμε μερικά αρχαία συστήματα αρίθμησης από όλο τον κόσμο, μπορεί να αλλάξουμε γνώμη!

arithmisi 3.jpg
arithmisi 2.png
Αρχαία συστήματα αρίθμησης – Οι Μάγια

Οι Μάγια ήταν ένας λαός Ινδιάνων της Κεντρικής Αμερικής. Καταλάμβανε μια συνεχή έκταση στο νότιο Μεξικό, στη Γουατεμάλα και στο βόρειο Μπελίζ.

Πριν από την κατάκτηση του Μεξικού από τους Ισπανούς οι Μάγια είχαν αναπτύξει τον λαμπρότερο πολιτισμό του Δυτικού Ημισφαιρίου.  Ασκούσαν τη γεωργία, έκτιζαν πέτρινα σπίτια και  πυραμιδοειδείς ναούς, κατεργάζονταν το χαλκό  και το χρυσό, γνώριζαν την υφαντουργία και χρησιμοποιούσαν μια μορφή ιερογλυφικής γραφής.  Οι ρίζες του πολιτισμού των Μάγια φτάνουν πολύ πίσω στην προϊστορία, πέρα από τα 2000 π.Χ. όπου αντιστοιχεί η Αρχαϊκή περίοδος.

Το ημερολόγιο των Μάγια, θεωρείται το ακριβέστερο ημερολόγιο στην ανθρώπινη ιστορία. Αποτελούνταν από ένα βασικό ημερολόγιο 365 ημερών αλλά και ένα ιερό ημερολόγιο 260 ημερών.

magia 1.jpg
magia 2.jpg

Το αριθμητικό σύστημα των Μάγια ήταν περίπου εικοσαδικό. Χρησιμοποιούσαν ένα βότσαλο για τις μονάδες, μια ράβδο για τις πεντάδες  και ένα κοχύλι για τον αριθμό μηδέν.

Για παράδειγμα,

magia 3.jpg
Αρχαία συστήματα αρίθμησης – Οι Βαβυλώνιοι

Με τον όρο ¨Βαβυλώνιοι¨ περιγράφουμε γενικά τους ανθρώπους που έζησαν στη Μεσοποταμία, την εύφορη πεδιάδα ανάμεσα στους ποταμούς Τίγρη και Ευφράτη - στη σημερινή Τουρκία και Συρία. Ο βαβυλωνιακός πολιτισμός (2000 - 600 π.Χ.)  αντικατέστησε αυτόν των Σουμερίων και των Ακκαδαίων κληρονομώντας το εξηκονταδικό τους σύστημα καθώς και τη σφηνοειδή γραφή που οι Σουμέριοι είχαν αναπτύξει.

Τα βαβυλωνιακά μαθηματικά ήταν πιο αναπτυγμένα από τα αιγυπτιακά. Μπορούσαν να υπολογίσουν τετραγωνικές και κυβικές ρίζες, να χρησιμοποιήσουν πυθαγόρειες τριάδες 1200 χρόνια πριν από τον Πυθαγόρα, είχαν γνώση του π και πιθανότατα της εκθετικής συνάρτησης, μπορούσαν να λύσουν ορισμένες πολυωνυμικές εξισώσεις δευτέρου αλλά και όγδοου βαθμού, να λύσουν γραμμικές εξισώσεις και είχαν ασχοληθεί με τη μέτρηση κύκλου. Γενικά, τα βαβυλωνιακά μαθηματικά ήταν βασισμένα περισσότερο στην άλγεβρα, παρά στη γεωμετρία όπως τα ελληνικά.

Οι Βαβυλώνιοι έγραφαν πάνω σε νωπές πήλινες πλάκες, τις οποίες στη συνέχεια άφηναν στον ήλιο να ψηθούν. Με τον τρόπο αυτό οι πλάκες σταθεροποιούνταν και τα γράμματα έμεναν χαραγμένα μόνιμα. Χιλιάδες τέτοιες πλάκες έχουν σωθεί μέχρι και τις μέρες μας δίνοντας μας πολύτιμες πληροφορίες.

Οι αριθμοί στη σφηνοειδή γραφή που χρησιμοποιούσαν οι Βαβυλώνιοι μπορούσαν να γραφτούν με συνδυασμό δύο συμβόλων : μιας ¨ορθής γωνίας¨ για το 1 και μιας ¨οξείας γωνίας¨ για το 10. Οι Βαβυλώνιοι είχαν εξηκονταδικό σύστημα χρησιμοποιώντας 59 σύμβολα για τους αριθμούς 1-59, ενώ για μεγαλύτερους αριθμούς λάμβαναν υπόψη τη θέση των συμβόλων στον αριθμό.

babylon 1.png

Για παράδειγμα, ένα ¨2¨ στη δεύτερη στήλη από τα δεξιά σήμαινε 2×60 =120, ενώ στην τρίτη στήλη σήμαινε 2×602 = 7200.

Στον πίνακα βλέπουμε τους αριθμούς 1-59. 

babylon 2.png

Αυτό το σύστημα αρίθμησης όμως είχε κάποια προβλήματα. Καταρχάς δεν υπήρχε σαφής διαχωρισμός μεταξύ των στηλών πέρα από το κενό ανάμεσα στα σύμβολα – το 2 για παράδειγμα, ήταν παρόμοιο με το 61. Ένα ακόμα σοβαρότερο πρόβλημα, ήταν ότι δεν υπήρχε σύμβολο για το μηδέν για να μπει σε κενές στήλες – δεν υπάρχει τρόπος να ξεχωρίσουμε το 1 από το 60!  Μεταγενέστεροι πολιτισμοί εφηύραν τελικά ένα σύμβολο για το μηδέν, πράγμα που σημαίνει ότι είχαν επίγνωση του ελαττώματος στο σύστημα αρίθμησης.

Το εξηκονταδικό σύστημα των βαβυλωνίων ωστόσο, ήταν αρκετά λειτουργικό ώστε να εμφανίζεται ακόμα και στις μέρες μας. Η ώρα για παράδειγμα έχει 60 λεπτά, το λεπτό έχει 60 δευτερόλεπτα, ο κύκλος έχει 360 μοίρες, ενώ μια μοίρα έχει 60 λεπτά. Ακόμα και η ημέρα των εικοσιτεσσάρων ωρών είναι κληρονομιά μας από τους αρχαίους Βαβυλώνιους.

Οι Βαβυλώνιοι κατάφεραν να αναπτύξουν τα Μαθηματικά περισσότερο από προγενέστερους πολιτισμούς, υπολογίζοντας μεγέθη όπως η τετραγωνικές ρίζες με ακρίβεια αντίστοιχη με αυτή που πέτυχαν οι μαθηματικοί κατά την Αναγέννηση!

Αρχαία συστήματα αρίθμησης – Οι Αιγύπτιοι

Κοιτάζοντας τα διάφορα εντυπωσιακά κτήρια και τους ναούς που κατασκεύασαν οι αρχαίοι Αιγύπτιοι – οι Πυραμίδες είναι μόνο ένα παράδειγμα – δεν μπορούμε παρά να υποθέσουμε ότι οι μαθηματικές τους γνώσεις ήταν αρκετά υψηλού επιπέδου. Πραγματικά, τα Μαθηματικά στην αρχαία Αίγυπτο ήταν πιο αναπτυγμένα από ό,τι στους περισσότερους αρχαίους πολιτισμούς που γνωρίζουμε - με εξαίρεση των Βαβυλωνίων.

Η αρχαιότερη πηγή πληροφοριών σχετικά με τα Μαθηματικά που έχουμε από την Αίγυπτο είναι η βασιλική ράβδος του Narmer, η οποία χρονολογείται γύρω στο 3100 π.Χ. και εμφανίζει διάφορους μεγάλους αριθμούς γραμμένους σε Αιγυπτιακά ιερογλυφικά που αναφέρονται στα αποτελέσματα μιας πολεμικής εκστρατείας. Τα δύο καλύτερα διατηρημένα και κατανοητά κείμενα που έχουν βρεθεί, ωστόσο, είναι ο πάπυρος του Ριντ (Rhind) και ο πάπυρος της Μόσχας, οι οποίοι περιέχουν μαθηματικά προβλήματα και πίνακες.

agypt 1.jpg

Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι (3000 π.Χ.), είχαν δεκαδικό σύστημα και χρησιμοποιούσαν διαφορετικά σύμβολα (ιερογλυφικά) για τις δυνάμεις του 10.              

Έτσι, το 1 παριστάνονταν με κατακόρυφη γραμμή, το 10 με ¨κρύπτη¨, το 100 με ρολό σκοινί, το 1.000 με λωτό, το 10.000 με δάκτυλο, το 100.000 με βάτραχο, ενώ το 1.000.000  με γονατιστό θεό – συχνά το τελευταίο  αυτό σύμβολο σήμαινε ¨πολύ μεγάλος αριθμός¨.

Screen Shot 2021-12-11 at 8.08.36 PM.png

Κάθε αριθμός μπορούσε να γραφτεί ως συνδυασμός αυτών των συμβόλων.  Για παράδειγμα, για το 258 θα χρησιμοποιούσαμε 2 ¨σκοινιά¨, 5 ¨κρύπτες¨ και 8 κατακόρυφες γραμμές. Παρατηρήστε ότι το σύστημα αυτό δεν διαθέτει σύμβολο για το μηδέν και δεν συνδέει τη θέση των συμβόλων με την αξία τους.

Ένα άλλο σύστημα αρίθμησης το οποίο δημιουργήθηκε μετά την εφεύρεση του πάπυρου, χρησιμοποιούσε ιερατικά σύμβολα. Υπήρχαν ξεχωριστά σύμβολα για καθέναν από τους αριθμούς 1, 2, …9, 10, 20,… 90, 100, 200…900 και λοιπά, με αποτέλεσμα οι αριθμοί να μπορούν να γραφτούν πολύ πιο σύντομα, αν και ήταν απαραίτητη η αποστήθιση περισσότερων συμβόλων από τον γραφέα.

agypt 3.jpg