Μα πως γίνεται να κερδίζεις πάντα!;
Τοποθετούμε έναν αριθμό κερμάτων στο τραπέζι, σε στρογγυλή διάταξη. Στο διπλανό σχήμα θέσαμε έντεκα, αλλά θα μπορούσαμε εξ ίσου καλά να τοποθετήσουμε 10, 20 ή οσαδήποτε άλλα. Οι παίκτες εναλλάξ αφαιρούν από το σχήμα ένα ή δύο κέρματα. Το αν θα αφαιρέσουν ένα ή δύο, κάθε φορά που έρχεται η σειρά τους να παίξουν, είναι απολύτως δική τους επιλογή. Ο μόνος περιορισμός είναι ότι όποτε αφαιρέσουν δύο κέρματα, τότε αυτά πρέπει να είναι σε γειτονικές θέσεις, χωρίς να παρεμβάλλονται άλλα κέρματα ή κενά μεταξύ των δύο. Ο παίκτης που θα πάρει το τελευταίο ή τα δύο τελευταία δύο κέρματα, κερδίζει.
Αν εσείς παίζετε δεύτερος, τι στρατηγική θα ακολουθούσατε ώστε αργά ή γρήγορα να μην μείνει κέρμα για τον αντίπαλο και να κερδίσετε;
Νικηφόρα στρατηγική.
Η διαδικασία που ακολουθούμε βασίζεται σε δύο ιδέες. Πρώτον, μετά την αρχική κίνηση του αντιπάλου, ο οποίος βέβαια θα αφαιρέσει 1 ή 2 κέρματα, παρατηρούμε ότι τα υπόλοιπα κέρματα είναι σε μια συνεχόμενη γραμμή με ένα κενό μεταξύ των δύο άκρων. Εμείς θα αφαιρέσουμε 1 ή 2 κέρματα από το μέσο της συνεχόμενης γραμμής με τέτοιο τρόπο ώστε αυτά που θα μείνουν να είναι χωρισμένα σε δύο ίσες ομάδες. Κατά κάποιο τρόπο, λοιπόν, υπάρχει μια διαχωριστική ευθεία η οποία καθιστά τις δύο ίσες ομάδες συμμετρικές ως προς άξονα την εν λόγω ευθεία.
Ερχόμαστε τώρα στο δεύτερο σκέλος της στρατηγικής: Κάθε φορά που ο αντίπαλος αφαιρεί 1 ή 2 (συνεχόμενα) κέρματα από την μία ομάδα, εμείς αφαιρούμε τα ακριβώς αντίστοιχα της άλλης ομάδας. Με άλλα λόγια, αφαιρούμε τα κέρματα που είναι συμμετρικά ως προς τον παραπάνω διαχωριστική ευθεία.
Το ακόλουθο παράδειγμα αποσαφηνίζει την στρατηγική: Αν στο παραπάνω σχήμα ο πρώτος παίκτης (ο αντίπαλος) αφαιρέσει ένα κέρμα, ας πούμε το 8, εμείς απαντάμε αφαιρώντας τα 2 και 3 ώστε να μείνουν δύο ίσες και συμμετρικές ομάδες κερμάτων, οι 9, 10, 11, 1, και 7, 6, 5, 4. Το σχήμα αριστερά δείχνει αυτή την περίπτωση. Ανάλογα, αν ο άλλος παίκτης αφαιρέσει δύο κέρματα, ας πούμε τα 8 και 9, εμείς απαντάμε αφαιρώντας το 3. Θα μείνουν οι συμμετρικές μεταξύ τους ομάδες 10, 11, 1, 2 και 7, 6, 5, 4, αντίστοιχα, όπως δείχνει το δεξί σχήμα. Από κει και πέρα εργαζόμαστε συμμετρικά. Για παράδειγμα, αν στο διπλανό σχήμα ο αντίπαλος αφαιρέσει το 9, απαντάμε με το 7. Αν αφαιρέσει τα (συνεχόμενα) 11 και 1, απαντάμε με τα 5 και 4, και ούτω καθεξής. Πάντα θα έχουμε κάτι να αφαιρέσουμε (το συμμετρικό) μετά από κάθε κίνηση του αντιπάλου, οπότε έχουμε νικηφόρα στρατηγική για τον δεύτερο παίκτη.
Περιοδικό Καγκουρό (Μιχάλης Λάμπρου – Νίκος Κ. Σπανουδάκης)
Drive-your-friends-crazy game!
Place a number of coins on the table in a round arrangement. In the following chart we have used 11, but you can use 10, 20 or as many as you like. The two players alternately remove one or two coins from the circle. The only limitation is that if two coins are removed they have to be in adjacent positions, which means that there may be no other coins or gaps between them. The player who takes the last coin or the last two coins wins.
Let the other player play first. Can you think of a strategy so that you always win?
Winning strategy
The strategy we follow is based on two ideas. Initially, after the opponent's first move (removing one or two coins) we notice that the remaining coins are in a continuous line with a gap between the two ends. Then we remove one or two coins from the middle of the line to shape two sets of coins.
Now it’s time for the second part of the winning strategy. Every time the opponent removes one or two coins from one set, we remove the corresponding coins of the other set. In other words, we remove the coins that are symmetrical to the dividing line that makes the two groups of coins.
Τhe following example clarifies the strategy. If the first player (our opponent) removes a coin, let's say 8, we respond by removing coins 2 and 3 to shape two equal groups of coins 9, 10,11,1 and 7,6,5,4. This case is illustrated in the following chart:
Depending on whether the player removes two coins, let's say 7 and 8, we answer by removing 2. The symmetrical groups 9, 10, 11, 1 and 6, 5, 4, 3 will decrease in number as in the following chart:
From now on, we work symmetrically. For example, if in the above chart our opponent removes 1 we answer with 3. If they remove coins 11 and 10 we remove 5 and 4 and so on. We always have something symmetrical to remove after every move of our opponent, so we have a winning strategy.
Ο ΣΤΙΒΟΣ ΚΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Αγωνίσματα στίβου:
Με τον όρο «στίβος» χαρακτηρίζεται το σύνολο των αγωνισμάτων, ειδικότερα του κλασικού αθλητισμού, που διεξάγονται στο χώρο αυτό και στον οποίο περιλαμβάνονται:
-
Αγώνες δρόμου:
-
αγώνες ταχύτητας
-
αγώνες ημι-αντοχής (1 μίλι κλπ)
-
αγώνες αντοχής
-
σκυταλοδρομίες
-
-
αθλήματα ρίψεων (δισκοβολία-ακοντισμός-σφυροβολία-σφαιροβολία)
Τα αγωνίσματα:
Τα αγωνίσματα του στίβου είναι γνωστά και σαν κλασικός αθλητισμός, μιας και τα περισσότερα έχουν ρίζες σε ανάλογα αθλήματα που διοργανώνονταν στην κλασική αρχαιότητα. Τα αγωνίσματα του κλασικού αθλητισμού ήταν αυτά που κυριαρχούσαν στην αρχαία εποχή και ιδιαίτερα στους πανελλήνιους αγώνες. Χωρίζονται σε τρεις μεγάλες κατηγορίες: στους δρόμους, τα άλματα και τις ρίψεις.
Τι σχέση έχουν τα μαθηματικά με τον στίβο;
Ρίψεις: Στις ρίψεις τα μαθηματικά είναι κύριος λόγος διότι: ο αθλητής πρέπει να ρίξει τη βολή 45 μοίρες ώστε να πάρει η σωστή καμπύλη. Επίσης ο αθλητής θα πρέπει να πάρει τη σωστή φόρα και να βρει τη κατάλληλη δύναμη έτσι ώστε η βολή να φύγει από το χέρι του σωστά .
Άλματα: Το άλμα σε μήκος υποδιαιρείται στη φόρα, στην εκτίναξη, στη φάση μετεωρισμού και στην προσγείωση. Η φόρα είναι ένας δρόμος με επιτάχυνση και πρέπει να δώσει στον αθλητή τη δυνατότητα να εκτιναχθεί έχοντας πολύ μεγάλη ταχύτητα. Το μήκος της φόρας πρέπει να επιλέγεται κατά τέτοιο τρόπο, ώστε ο άλτης να μπορεί να φτάνει στη μεγαλύτερη δυνατή ταχύτητα ως τη στιγμή της εκτινάξεως. Μόλις ο άλτης βρεθεί στον αέρα φέρει το πόδι ωθήσεως και το πόδι εκτινάξεως αντίστοιχα προς τα πίσω και προς τα εμπρός μέχρι την κατακόρυφη θέση. Μετά από αυτό, τα πόδια είναι λυγισμένα στο γόνατο σχηματίζοντας, σχεδόν, ορθή γωνία. Σ' αυτήν τη στάση ο άλτης φτάνει στο ψηλότερο σημείο της τροχιάς του. Μετά αρχίζει να προετοιμάζεται για την προσγείωση φέροντας τους μηρούς προς το πάνω μέρος του σώματος, που παίρνει μια κλίση προς τα εμπρός, για να εξισορροπήσει. Οι κνήμες ωθούνται προς τα εμπρός, έτσι ώστε τα τεντωμένα πόδια να πάρουν παράλληλη θέση προς το έδαφος. Οι βραχίονες κινούνται ταυτόχρονα προς τα πίσω και προς τα κάτω. Τη στιγμή της προσγειώσεως ο άλτης χαλαρώνει τα γόνατά του και ωθεί τα ισχία προς τα εμπρός, για να μην πέσει προς τα πίσω.
Δρόμοι: Στους δρόμους ο άνεμος πρέπει να είναι ευνοϊκός και όχι κόντρα στους αθλητές ώστε η απόδοση τους να είναι καλύτερη. Ακόμα, οι αθλητές την ώρα που τρέχουν πρέπει να φέρουν το πόδι τους σε ορθή γωνία και το σώμα του κάθετα. Στην εκκίνηση όμως οι αθλητές πρέπει να είναι σκυμμένοι στα πρώτα 30μ για να έχουν αεροδυναμικό σχήμα και να κόβουν τον αέρα.
Divisibility by seven!
Nigerian youngster Master Chika Ofili, age 12, has won a special academic award in the UK after making a new discovery in mathematics for divisibility by seven.
In an article in an educational journal, his mathematics teacher, Mary Ellis who is also the head of the maths department at Westminster Under School, said Chika discovered the new formula after a holiday assignment. She said that she gave Chika a book called First Steps for Problem Solvers to study during the holidays and he arrived at the formula after going through it.
The book contained several divisibility tests, which are used to quickly work out whether a number is exactly divisible by either 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 or 9 before you start dividing. However, there was no test listed for checking divisibility by seven because there is no easy or memorable test for dividing by seven but Chika Ofili solved this problem.
Chika discovered that if you take the last digit of any whole number, multiply it by five and then add this to the remaining part of the number, you will get a new number. If this new number is divisible by seven, then the original number is divisible by seven.
For example, to check if seven can divide 532, the process involves 53 + 2 x 5= 63, as because 63 is a multiple of seven hence seven can divide it.
Here is Chika in front of his discovery! See the full proof here:
https://www.westminsterunder.org.uk/announcements/
(Source : http://www.nigerianwatch.com/)
